Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时， 取得极小值为，无极大值．；（Ⅱ）当时， 在和上是减函数，在上是增函数，当时， 在上是减函数，当时， 在和上是减函数，在上是增函数；（Ⅲ） ．

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 当时， ，定义域为， ．据此可得当时， 取得极小值为，无极大值．

(Ⅱ) 当时，函数的定义域为，且．分类讨论有：

（1）当时， 在和上是减函数，在上是增函数；

（2）当时， 在上是减函数；

（3）当时， 在和上是减函数，在上是增函数

(Ⅲ) 由（Ⅱ）知，当时， 在上是减函数．原问题等价于对任意恒成立，分离参数有对任意恒成立．据此可得实数的取值范围为．

试题解析：

（Ⅰ）当时， ，定义域为，

的导函数．

当时， ， 在上是减函数；

当时， ， 在上是增函数．

∴当时， 取得极小值为，无极大值．

（Ⅱ）当时， 的定义域为， 的导函数为．

由得， ， ．

（1）当时， 在和上是减函数，在上是增函数；

（2）当时， 在上是减函数；

（3）当时， 在和上是减函数，在上是增函数

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时， 在上是减函数．

∴．

∵对于任意的都有，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立．

当时， ，∴．

∴实数的取值范围为．