题目内容
【题目】已知向量 
=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， 
=（﹣cosωx﹣sinωx，2 
cosωx），设函数f（x）= +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 
，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（ 
，0）求函数f（x）在区间[0， 
]上的取值范围．
【答案】
（1）解：∵f（x）= 
+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 
cosωx+λ
=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ 
）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ = 
+kπ，k∈z
∴ω= 
+ 
，又ω∈（ 
，1）
∴k=1时，ω= 
∴函数f（x）的最小正周期为 
= 
（2）解：∵f（ 
）=0
∴2sin（2× × ﹣ ）+λ=0
∴λ=﹣ 
∴f（x）=2sin（ 
x﹣ ）﹣
由x∈[0， 
]
∴ x﹣ ∈[﹣ ， 
]
∴sin（ x﹣ ）∈[﹣ ，1]
∴2sin（ x﹣ ）﹣ =f（x）∈[﹣1﹣ ，2﹣ ]
故函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围为[﹣1﹣ ，2﹣ ]
【解析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
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