Question

已知

a

=(2sin

x

4

，

3

)，

b

=(cos

x

4

，cos

x

2

)，
（1）若

1

2

a

+

b

=(λ，

3 -1

2

)，且x∈（2π，4π），求x 和实数λ 的值；
（2）若函数f(x)=

a

•

b

，求函数f（x） 的最小正周期，及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量运算和相等概念求．
（2）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最小正周期，结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间；

解答：解：（1）

1

2

a

+

b

=  (sin

x

4

+cos

x

4

， 

3

2

+cos 

x

2

)
∴cos

x

2

=-

1

2

＜0，∵x∈（2π，4π）∴x∈（π，2π）∴

x

2

=

4π

3

  x=

8π

3

，
λ=sin

x

4

+cos

x

4

=sin

2π

3

+cos

2π

3

=

3 -1

2

（2）f(x)=

a

•

b

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

）
∴T=4π．由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+

π

2

得
4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，k∈Z，
单调递增区间．[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈Z

点评：题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点．