题目内容
莆田四中高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
，且每道题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．
| 2 | 3 |
（Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．
分析：（Ⅰ）甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，由此能求出考生甲通过实验考查的概率．
（Ⅱ）甲正确完成实验操作的题数分别为ξ，ξ服从超几何分布，利用古典概型公式求出概率，得出分布列．并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）再求出乙的正确完成的题数η的分布列，计算期望与方差，进行比较．
（Ⅱ）甲正确完成实验操作的题数分别为ξ，ξ服从超几何分布，利用古典概型公式求出概率，得出分布列．并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）再求出乙的正确完成的题数η的分布列，计算期望与方差，进行比较．
解答：解：（Ⅰ）∵考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽三道题中的2道或3道．
∴所求概率为P=
=
（Ⅱ）由已知，ξ=0，1、2、3，
P（ξ=1）=
=
，P（ξ=2）=
=
，P（ξ=3）=
=
．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
Eξ=1×
+2×
+3×
=2
（Ⅲ）乙考生正确完成题数η的概率分布列为：
Eη=
∴Eξ=Eη，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵Dξ=(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
=
Dη=(0-2)2×
+(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
=
∴Dξ＜Dη，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
∴所求概率为P=
| ||||||
|
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）由已知，ξ=0，1、2、3，
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
| ||
|
| 1 |
| 5 |
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
Eξ=1×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅲ）乙考生正确完成题数η的概率分布列为：
| x2 | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
|
∴Eξ=Eη，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵Dξ=(1-2)2×
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
Dη=(0-2)2×
| 1 |
| 27 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
| 27 |
| 2 |
| 3 |
∴Dξ＜Dη，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．体现统计思想的价值和意义．
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