Question

在等比数列{a_n}中，a₇²=a₉且a₈＞a₉，则使得

n

i=1

(ai-

1

ai

)＞0的自然数n的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据等比数列{a_n}中，a₇²=a₉且a₈＞a₉，分析得到a₇=q²，a₅=1，q＜1，a_i•a_j=1（i，j∈N^*，i+j=10），a_i-

1

aj

=0，可求使得

n

i=1

(ai-

1

ai

)＞0的自然数n的最大值．

解答：解：∵a₇²=a₉
∴a₇²=a₇q²，a₇=q²，
∴a₅=1，且a₁＞0，
∵a₈＞a₉，∴q＜1，
∴a_i（i=1，2，3，4）＞1，a_i（i=6，7，）＜1，
∴ai-

1

ai

＞0(i=1，2，3，4)，a5-

1

a5

=0，ai-

1

ai

＜0(i=6，7），
∵a₅²=a₄a₆
，∴a4=

1

a6

∴(a4-

1

a4

)+(a6-

1

a6

)=0，∴(a1-

1

a1

)++(a9-

1

a9

)=0，
故n最大为8．
故答案为：8．

点评：考查等比数列的定义、通项公式、和等比中项的应用，解题时要注意公式的灵活应用，属中档题．