Question

（2013•长春一模）数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=log3

a 2 n

4

，数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和为T_n，证明：Tn＜

3

16

．

Answer 1

分析：（1）由Sn+

1

2

an=1，先分别令n=1，2，3，求出a₁=

2

3

，a₂=

2

9

，a₃=

2

27

．由此猜想a_n=

2

3n

．再用数学归纳法证明．
（2）由a_n=

2

3n

，知bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，故

1

bn•bn+2

=

1

(-2n)•[-2(n+2)]

=

1

4n(n+2)

=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项求和法能够证明数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和T_n＜

3

16

．

解答：解：（1）∵Sn+

1

2

an=1，
∴a1+

1

2

a1=1，解得a₁=

2

3

．

2

3

+a2+

1

2

a2=1，解得a₂=

2

9

，

2

3

+

2

9

+a3+

1

2

a3=1，解得a₃=

2

27

．
由此猜想a_n=

2

3n

．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=

2

3

，成立；
②假设n=k时成立，即ak=

2

3k

，
则当n=k+1时，

2

3

+

2

32

+…+

2

3k

+ak+1+

1

2

ak+1 =1，
∴

3

2

ak+1=1-

2 3 (1- 1 3k )

1- 1 3

=

1

3k

，解得ak+1=

2

3k+1

，也成立．
∴a_n=

2

3n

．
（2）∵a_n=

2

3n

，
∴bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，
∴

1

bn•bn+2

=

1

(-2n)•[-2(n+2)]

=

1

4n(n+2)

=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），
∵数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和为T_n，
∴T_n=

1

8

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-2

-

1

n

）+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

8

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

16

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

16

．
故Tn＜

3

16

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意数学归纳法和裂项求和法的合理运用．