Question

（2013•长春一模）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，右焦点到直线x+y+

6

=0的距离为2

3

，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，

NA

=-

7

5

NB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据右焦点到直线x+y+

6

=0的距离为2

3

，可得

|c+ 6 |

2

=2

3

，利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，从而可得a=2

2

，b=

a2-c2

=

2

，故可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），利用

NA

=-

7

5

NB

，可得(x1-x0，y1)=-

7

5

(x₂-x₀，y₂），设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．与椭圆方程联立

y=kx-1 x2 8 + y2 2 =1

，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，由此即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）
∵右焦点到直线x+y+

6

=0的距离为2

3

，
∴

|c+ 6 |

2

=2

3

∴c=

6

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

∴a=2

2

∴b=

a2-c2

=

2

∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵

NA

=-

7

5

NB

，
∴(x1-x0，y1)=-

7

5

(x₂-x₀，y₂）
∴y1=-

7

5

y2①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立

y=kx-1 x2 8 + y2 2 =1

，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴y1+y2=-

2

4k2+1

③y1y2=

1-8k2

4k2+1

④
由①③可得y2=

5

4k2+1

，y1=-

7

4k2+1

代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此时②为5y²+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．