Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x₁、x₂是函数f（x）的两个极值点，而x₁=-1，x₂=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；
（Ⅱ）因为x₁、x₂是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设p（a）=3a²（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到p（a）的极大值，开方可得b的最大值；
（Ⅲ）因为x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，所以f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．根据两个之积和x₂=a求出x₁，将x₁和导函数代入到g（x）=f'（x）-a（x-x₁）求出g（x）的绝对值，根据x的范围化简绝对值，再利用二次函数最值的方法得证即可．

解答：解 （Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（Ⅱ）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p'（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．
（Ⅲ）证明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，
∴x1=-

1

3

．
∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a．
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．

点评：考查学生会用待定系数法求函数解析式，会利用导数研究函数的极值，掌握不等式的基本证明方法．