Question

平面四边形ABED中，O在线段AD上，且OA=1，OD=2，△OAB，△ODE都是正三角形．将四边形ABED沿AD翻折后，使点B落在点C位置，点E落在点F位置，且F点在平面ABED上的射影恰为线段OD的中点（即垂线段的垂足点），所得多面体ABEDFC，如图所示
（1）求棱锥F-OED的体积；             
（2）证明：BC∥EF．

Answer 1

分析：（1）利用锥体的体积公式求解体积．
（2）利用线面平行的性质定理证明直线平行．

解答：解：（1）由已知可得△OAC≌△OAB，△ODE≌△ODF，
又∵OD=2，∴S△ODE=

3

∵F在平面ABCD的射影为线段OD的中点∴棱锥F-OED高h=

3

，
∴VF-OED=

1

3

S△OED•h=1
（2）设DE中点为G，DF中点为H
连结CH、BG、GH，有EF∥GH，
由已知可得，在平面ADFC中有∠COA=∠FDA=60°
∵OC∥DH
又∵OC=1，DF=2
∴DH=

1

2

DF=1
则OC∥DH，OC=DH
∴四边形ODHC为平行四边形
∴CH∥OD．CH=OD
同理可证BG∥OD，BG=OD
∴CH∥BG，CH=BG
∴四边形BCHG为平行四边形
∴BC∥GH
故BC∥EF

点评：本题主要考查空间几何体的体积公式以及空间直线平行的判断，要求熟练掌握相应的体积公式．