Question

如图，多面体ABCDE中，四边形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，平面BAED^平面ACD，△ACD是边长为2a的正三角形，DE=2AB=2a，F是CD的中点
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD与面BCE所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中，∠BAD=90°，DE∥AB，结合平面BAED⊥平面ACD，易得到DE⊥面ACD，DE⊥AF，又由F是CD的中点，根据等腰三角形三线合一得AF⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）延长DA，EB相交于点G，连接CG，根据平行线分线段成比例定理，我们及判断出AF∥CG，结合（1）的结论，我们易得∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角，解三角形ACD，即可得到答案．

解答：（Ⅰ）证明：∵∠BAD=90°，DE∥AB，∴DE⊥AD
又平面BAED⊥平面ACD，平面BAED∩平面ACD=AD，∴DE⊥面ACD，∴DE⊥AF（3分）
∵DACD是正三角形，F是CD的中点，
∴AF⊥CD，
∴AF⊥平面CDE．（6分）
（Ⅱ）解：延长DA，EB相交于点G，连接CG，
易知平面ACD∩平面BCE=GC
由DE∥ABB，DE=2AB=2a知

GA

GD

=

AB

DE

=

1

2

∴

DA

DG

=

1

2

∵F是CD的中点，∴

DF

DC

=

1

2

，
∴

DA

DG

=

DF

DC

?AF∥CG
由（Ⅰ）AF⊥平面CDE，∴GC⊥平面CDE
∴GC⊥CD，GC⊥CE
∴∠DCE为面ACD与面BCE所成二面角的平面角 （9分）
在DCDE中，∠CDE=90°，DE=CD=2a，∴∠DCE=45°
即面ACD与面BCE所成二面角为45° （12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键．