Question

8．已知P是圆x²+y²-2y=0上的动点．
（1）求2x+y的范围；
（2）若x+y+c≥0恒成立，求c的范围；
（3）求$\frac{y-2}{x+2}$的取值范围；
（4）（x+1）²+（y+2）²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），由三角函数的性质能求出2x+y的范围．
（2）由已知c≥-x-y恒成立，由-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1，能求出c的范围．
（3）由$\frac{y-2}{x+2}$=$\frac{sinα-1}{cosα+2}$，得$\frac{y-2}{x+2}$的取值范围是单位圆x²+y²=1上一点和点（-2，1）连线的斜率k的取值范围，由点到直线距离公式能求出$\frac{y-2}{x+2}$的取值范围．
（4）（x+1）²+（y+2）²=cos²α+（1+sinα）²+2cosα+4（1+sinα）+5，由此利用三角函数能求出（x+1）²+（y+2）²的取值范围．

解答 解：（1）∵P是圆x²+y²-2y=0上的动点，∴P是圆x²+（y-1）²=1上的动点，圆的圆心是（0，1），半径r=1．
则圆的参数成为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
∴2x+y=sinα+2cosα+1=$\sqrt{5}$sin（α+β）+1，
∴2x+y的范围是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．
（2）∵x+y+c≥0恒成立，∴c≥-x-y恒成立
∵-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1
∴-x-y的最大值为$\sqrt{2}$-1，
∴c的范围是（$\sqrt{2}-1$，+∞）．
（3）∵$\frac{y-2}{x+2}$=$\frac{1+sinα-2}{cosα+2}$=$\frac{sinα-1}{cosα+2}$，代表点（cosα，sinα）与（-2，1）连线的斜率，
∴$\frac{y-2}{x+2}$的取值范围是单位圆x²+y²=1上一点和点（-2，1）连线的斜率k的取值范围，
点（-2，1）是定点，（cosα，sinα）在圆x²+y²=1上运动，
∴点（cosα，sinα）与（-2，1）连线与圆相切时（共两个情况）分别取得最大值与最小值，
设点（cosα，sinα）与（-2，1）连线l的方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，
∵l与圆相切，∴原点（0，0）到直线l的距离为1，
由点到直线距离公式，得：|$\frac{k×0-0+2k+1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$|=1，
整理，得3k²-4k=0，解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{y-2}{x+2}$的取值范围是[-$\frac{4}{3}$，0]．
（4）（x+1）²+（y+2）²=x²+2x+1+y²+4y+4
=cos²α+（1+sinα）²+2cosα+4（1+sinα）+5
=cos²α+sin²α+6sinα+2cosα+10
=2$\sqrt{10}$sin（α+θ）+11，
∴（x+1）²+（y+2）²的取值范围是[11-2$\sqrt{10}$，11+2$\sqrt{10}$]．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆的方程、三角函数、点到直线距离公式、等价转化思想的合理运用．