Question

已知函数f（x）=xlnx与函数g(x)=x+

1

ax

，(x＞0)均在x=x₀时取得最小值．
（I）求实数a的值；
（II）记h（x）=f（x）-g（x），α表示函数h（x）的所有极值点之和，证明：
（i）

1

e

是函数h（x）的一个极大值点（e为自然对数的底数，e≈2.71828…）；
（ii）∑α＞

15

14

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用导数由f（x）求出x₀，再分情况讨论g（x）的最小值及此时x值，由x₀=x即可求出a值；
（Ⅱ）（i）利用导数与函数极值的关系可以证明，为判断h′（x）的符号，此题要对h′（x）再次求导；
（ii）先找出所有极值点，表示出α，再用不等式可证明．

解答：解：（I）f′（x）=（xlnx）′=lnx+x•

1

x

=lnx+1，f′（x）＞0?x＞

1

e

，
所以f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，所以x=

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

，即x0=

1

e

．
又a≤0时，g（x）是增函数，此时无最小值；从而a＞0，所以g（x）=x+

1

ax

≥2

x• 1 ax

=2

1 a

，
当且仅当x=

1

ax

即x=

1 a

时，g(x)min=2

1 a

，所以

1 a

=

1

e

，即a=e²．
所以a=e²．
证明：（II）（i）h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-

1

e2x

，
h′（x）=lnx+1-1+

1

e2x2

=lnx+

1

e2x2

.h′′(x)=

1

x

-

2x

e2x4

=

1

x

-

2

e2x3

=

e2x2-2

e2x3

，
h″（x）＜0?0＜x＜

2

e

，所以h′（x）在（0，

2

e

）上单调递减，在(

2

e

，+∞)上单调递增．
因为h′（

1

e

）=ln

1

e

+

1

e2• 1 e2

=-1+1=0，所以当0＜x＜

1

e

时，h′（x）＞0；当

1

e

＜x＜

2

e

时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，

2

e

）上单调递减，
故

1

e

是函数h（x）的一个极大值点．
（ii）因为h′(

2

e

)=ln

2

e

+

1

2

=ln

2

-

1

2

=ln

2 e

＜ln1=0，h′（1）=ln1+

1

e2

=

1

e2

＞0，且h″(x)=

e2x2-2

e2x3

，h″(

2

e

)=0，
所以在（

2

e

，1）内存在唯一实数m，使得h′（m）=0，
因为h′（x）在（0，

2

e

）上单调递减，在（

2

e

，+∞）上单调递增，且h′（

1

e

）=0，
所以h（x）在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，
可知

1

e

为h（x）的唯一极大值点，m为h（x）的唯一极小值点，
所以α=

1

e

+m．又h′（1）＞0，h′（

2

e

）＜0，所以

2

e

＜m＜1，α=

1

e

+m＞

1

e

+

2

e

=

3

e

＞

15

14

．
故α＞

15

14

．

点评：本题考查应用导数求函数的最值、极值，研究函数的单调性，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力，难度较大．