Question

现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．
（1）求投球一次，小球落入B槽的概率；
（2）设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量ξ，并求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）小球落入B袋中包含两种情形当且仅当小球先向左再向右或者先向右再向左，然后求出两种情形的概率和即可；
（2）分别计算出小球落入A槽，落入B槽，落入C槽的概率，根据题意可得ξ的取值为0、5、10，列出分布列，根据数学期望的公式解之即可．

解答：解：（1）由题意可知：若投一次小球，则落入B槽的概率为(

1

2

)2+(

1

2

)2=

1

2

．
（2）落入A槽的概率为(

1

2

)2=

1

4

，落入B槽的概率为

1

2

，落入C槽的概率为(

1

2

)2=

1

4

，
由题意可得：ξ可能取的数值为0，5，10…（5分），
p(ξ=0)=(

1

4

)3=

1

64

，…（6分）  
 p(ξ=5)=

1

2

+

1

2

•

1

4

+

1

2

•(

1

4

)2=

21

32

，…（8分）
p(ξ=10)=

1

4

+

1

4

•

1

4

+

1

4

•(

1

4

)2=

21

64

，…（10分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	5	10
p	1 64	21 32	21 64

则ξ的数学期望为：Eξ=0×

1

64

+5×

21

32

+10×

21

64

=

105

16

．…（12分）

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个概率的综合题，解题时注意两问之间的关系．