Question

13．已知函数f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函数，且f（1）=-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立，结合f（1）=-2，求出p，q，可得函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（0，1）上是单调递增的，利用导数法，易证得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}+2x}$=-$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$，
解得：q=0，
又∵f（1）=-2．
∴$\frac{p+2}{-2}$=-2，
∴p=2，
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-2x}$=$-\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
（2）函数f（x）在（0，1）上是单调递增的，理由如下：
∵f（x）=$-\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）在（0，1）上是单调递增的．

点评 本题考查的知识点是函数单调性及奇偶性，函数解析式的求法，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．