Question

5．已知：如图在四梭椎P-ABCD中PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是AP的中点．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）若点D在PC上的射影为F，求证：平面DEF⊥平面PCB；
（3）若PD=AD=1，问P、A、B、C、D五点能否在同一球面上，如果在，请指出球心的位置；并求出此球的球面面积；如果不能，请说明理．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明PC∥平面EBD；
（2）若点D在PC上的射影为F，利用面面垂直的判定定理即可证明平面DEF⊥平面PCB；
（3）根据球的定义确定球心的位置即可．

解答 解：（1）设AC交BD于0，连结EO，即可证明EO∥PC，
则PC∥平面EBD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥DC，且DC∩BC=C，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DF，
∵DF⊥PC，
∴DF⊥平面PCB，
∵DF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PCB
（3）在以PB为直径的球面上，球心是PB的中点，
∵PD=AD=DC=1，
∴PB=$\sqrt{3}$，球的半径R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球的表面积S=4$π{R}^{2}=4π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=3π$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理是解决本题的关键．