Question

（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ），证明见解析。

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC。
因为三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC。
又AA₁AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC。
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，
是二面角A₁—BC—A的平面角，即
于是在中，在中，，
由，得，又，所以。
解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
则，
于是，。
设平面的一个法向量为，则
由得
可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。
所以，，
所以。
于是由，得，
即，又所以。
第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。