Question

【题目】设函数的定义域为，其中，.

（1）若，判断的单调性；

（2）当，设函数在区间上恰有一个零点，求正数a的取值范围；

（3）当，时，证明：对于，有.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析

【解析】

（1）由题意求导后，按照、分类，解出、的解集即可得解；

（2）对求导，令，求导后可得在上单调递减，按照、，结合函数单调性、零点存在性定理即可得解；

（3）令，求导后可得对，恒有，依次取，求和即可得证.

（1）时，，，

则，

①当时，，在上单调递增；

②当时，令，，（舍），

令，，，

∴函数的单调增区间为，单调减区间为；

综上，当时，在上单调递增；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由题意，则，

令，，

∴在上单调递减，∴，

①若，则即，即在上单调递减，

∴，∴，不合题意；

②若，则，，

∴根椐零点存在性定理，使得，

即，使得，

当时，，在上单调递增，且，

∴，函数无零点；

当时， ，在上单调递减，

其中，

令，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴，

∴，

∴，

根据零点存在性定理可得时有且仅有一个零点，符合题意；

综上：；

（3）当时，令，则

当时，恒有，即在上单调递减，

∴对恒成立.

又，，故，

即对，恒有，

在此不等式中依次取，得：

，，，

，，

将以上不等式相加得：，即.