Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明：；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）当时，求得，，结合和的符号，求得函数的单调性，进而作出证明；

（2）先求得是的一个零点，由，，

分类、和三种情况讨论，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.

（1）当时，，则，

可得，

当时，可得，所以，

所以在单调递减，所以；

当时，，所以，

所以在单调递增，所以，

所以在单调递增，，

综上可得，，当且仅当时等号成立.

（2）当时，，所以是的一个零点，

由，，

（i）当时，由（1）知仅有一个零点；

（ii）当时，

①当时，，

所以函数在单调递减，，

所以当时，无零点，

②当时，，在（单调递增，

因为，

，

所以在上存在唯一，使得，

当时，，在单调递减，

有，所以在无零点.

当时，，在单调递增，

又，

设（），，，

所以在递增，有，

所以在递增，有，即，

因此，在有1个零点，

所以当时，有2个零点.

（iii）当时，

①当时，，在单调递增，

所以，在单调递增，，

所以在无零点

②当时，，有，

所以在无零点

③当时，，，在单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

又，，所以在有1个零点，

所以当时，有2个零点.

综上所述，当时，有1个零点；当或时，有2个零点.