Question

6．用0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的4位数．
（1）这样的4位数有多少个？
（2）这样的4位数是奇数的有多少个？偶数有多少个？
（3）这样的4位数被5整除的有多少个？

Answer 1

分析 （1）本题是一个分步计数问题，组成四位数，首位不能是0，首位有6种选法，其他三个位置有A₆³=120种结果，根据分步计数原理得到结果．
（2）要组成奇数，末位有3种选法，首位有5种选法，剩下的2个位置从5个元素中选2个，根据分步计数原理得到结果．
（3）能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，当末位是数字5时，根据分类计数原理得到结果．

解答 解：（1）首位有6种选择，后3位有A₆³=120种，利用乘法原理可得共有6×120=720个；
（2）要组成奇数，末位有3种选法，首位有5种选法，剩下的2个位置从5个元素中选2个，共有C₃¹•A₅¹•A₅²=300个，偶数有720-300=420个；
（3）能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，可以组成A₆³=120个，
当末位是数字5时，首位有5种选法，中间两位可以从余下的5个数字中选两个，有C₅¹A₅²=100个，
根据分类计数原理知共有120+100=220个．

点评 本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意0不能在首位，注意分类和分步的应用．