Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C₂的方程为ρ（cosθ-sinθ）+1=0，且C₁与C₂相交于A，B两点，则|AB|=

 

．

Answer 1

分析：把曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数），消去参数α化为普通方程，曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出．

解答：解：曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数），消去参数α化为

x2

4

+

y2

3

=1．
曲线C₂的方程为ρ（cosθ-sinθ）+1=0，化为x-y+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x-y+1=0 x2 4 + y2 3 =1

，化为7x²+8x-8=0，
∴x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．
故答案为

24

7

．

点评：本题考查了把曲线的参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得到一元二次方程的得到根与系数的关系、弦长公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

等基础知识与基本技能方法，属于中档题．