题目内容

如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）要证AD⊥平面BEF，可通过证明BE⊥AD，BF⊥AD证得．BE⊥AD由BE⊥平面ADC来证得，在等腰直角三角形ABD，可知BF⊥AD．
（Ⅱ）在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．在RT△BGC中求解即可．
（Ⅲ）过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，M即为所求的点．且比值为．
解答：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DC，又BC⊥DC，
所以DC⊥平面ABC，BE?平面ABC，则DC⊥BE，…（2分） 
 又BE⊥AC，所以BE⊥平面ADC，得BE⊥AD．
又△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，可知BF⊥AD．
BE∩BF=B，所以AD⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）解：在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，
连接BG，因为AD⊥平面BEF，所以CG⊥平面BEF，
所以∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．…（6分）
由∠DBC=30°，CD=1，
在RT△ABC中，BC=，AB=BD=2，AC= 
由AB2=AE•AC得AE=，CE=，
又AF=AD=，由得CG=．
在RT△BGC中，sin∠CBG==cos∠CBG=，
所以直线BC与平面BEF所成角的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ））解：存在一点M，使得CM∥平面BEF．
过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，则平面CMH∥平面BEF，得CM∥平面BEF，点M即为所求的点…（10分）
又四边形CHFG为矩形，所以HF=CG=，
因为HM∥FB，则…（12分）
点评：本题考查本题考查空间直线与直线、直线与平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网精英家教网如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．
精英家教网精英家教网如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B-EF-A的余弦．
精英家教网如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
（文科）如图甲，精英家教网在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．

（1）求证：DC⊥平面ABC．
（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，AB=BD=2CD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E为棱AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BE与平面ABC所成角的正弦值大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网