Question

已知向量 

a

=（2，sinx），

b

=（sin²x，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的坐标运算公式可求得f（x）=

a

•

b

=

2

sin（2x-

π

4

）+1，从而可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]，可求2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，从而可求得

2

sin（2x-

π

4

）的取值范围，问题即可解决．所以-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

，所以f（x）的值域是[0，

2

+1]

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（2，sinx），

b

=（sin²x，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1…（5分）
所以，f（x）的最小正周期为π…（7分）
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，则-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

…（10分）
所以-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

 …（13分）
所以f（x）的值域是[0，

2

+1]…（14分）

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，平面向量的坐标运算，属于中档题．