Question

建造一个容积为6400立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．
（1）把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数；
（2）蓄水池的底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？

Answer 1

分析：（1）水池总造价函数为y=池底造价+池壁造价，代入整理即可；
（2）由（1）得出总造价函数y=1600(x+

1600

x

)+160000，应用函数单调性的定义研究其单调性，从而得出这个函数在（0，40]上是减函数，在[40，+∞）增函数，可求得函数的最小值以及对应的x的值．

解答：解：（1）由已知池底的面积为1600平方米，底面的另一边长为

1600

x

米，--------（1分）
则池壁的面积为8(x+

1600

x

)平方米．------------------------------------（3分）
所以总造价：y=1600(x+

1600

x

)+160000（元），x∈（0，+∞）．-------------（5分）
（2）设0＜x₁＜x₂，则

y1-y2=1600(x1+ 1600 x1 )-1600(x2+ 1600 x2 )=1600[(x1-x2)+ 1600(x2-x1) x1x2 ] =1600(x1-x2)(1- 1600 x1x2 ).

--（7分）
当0＜x₁＜x₂≤40时，x₁-x₂＜0，1-

1600

x1x2

＜0，得y₁-y₂＞0，即 y₁＞y₂．----------（9分）
当40＜x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，1-

1600

x1x2

＞0，得y₁-y₂＜0，即 y₁＜y₂．---（11分）
从而这个函数在（0，40]上是减函数，在[40，+∞）增函数，当x=40时，y_min=288000．
所以当池底是边长为40米的正方形时，总造价最低为288000元．---------------（14分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题．