题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 $数学公式$ ，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点O到直线l的距离为 $数学公式$ ，求△AOB面积的最大值．

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，a= $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ ，∴b=1，∴所求椭圆方程 $\text{[math]}$ ；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，|AB|= $\text{[math]}$ ．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
∵坐标原点O到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴得m²= $\text{[math]}$ （k²+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=3+ $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ ≤3+ $\text{[math]}$ （k≠0）
当且仅当9k²= $\text{[math]}$ ，即k=± $\text{[math]}$ 时等号成立．
当k=0时，|AB|= $\text{[math]}$ ，
综上所述|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（2）分类讨论，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系，结合基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，求|AB|的最大值是关键．