题目内容

设y＝f(x)的定义域为D，值域为M，且f(x)是D上的增函数．　　

求证：它的反函数y＝(x)是M上的增函数．

答案：
解析：

　　证：任取，∈M，且＜，设()＝，()＝，

　　则∈D，且

　　假设，则由y＝f(x)在D上是增函数，必有

　　即矛盾．

　　假设，则f()＝f()，即，这与矛盾．

　　所以必有，即()＜()，则y＝(x)是M上的增函数．


练习册系列答案
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设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：(i)f(－1)＝f(1)＝0；(ii)对任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜≤｜u－v｜

(1)

证明：对任意的x∈[－1，1]，都有：

x－1≤f(x)≤1－x

(2)

判断函数g(x)＝，是否满足题设条件

(3)

在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f(x)，且使得对任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜?若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．

设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：(1)y＝f(x)是偶函数；(2)y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；(3)T＝2为y＝f(x)的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有________个．

设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：

(1)y＝f(x)是偶函数；

(2)y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；

(3)T＝2为y＝f(x)的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有________个．

设y＝f(x)是定义在R上的函数，如果存在A点，对函数y＝f(x)的图像上任意点P，P关于点A的对称点Q也在函数y＝f(x)的图像上，则称函数y＝f(x)关于点A对称，A称为函数f(x)的一个对称点．对于定义在R上的函数f(x)，可以证明点A(a，b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函数f(x)＝x3＋3x2图像的一个对称点；

(2)函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由．

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