Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-2x+3），（a＞0，a≠1）
（1）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的值域是R，则y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值，然后利用二次函数性质，列出不等关系，转化成恒成立问题，求解即可得到a的取值范围；
（2）原函数f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函数y=log_aμ与μ=ax²-2x+3的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可，注意对数的真数必须大于0．

解答：解：（1）∵函数f（x）=log_a（ax²-2x+3），且f（x）的值域为R，
根据对数的性质，可知当y=ax²-2x+3取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，
∵a＞0，则y=ax²-2x+3的图象开口向上，
∴△=（-2）²-4×3×a≥0，即a≤

1

3

，
又a＞0，
∴0＜a≤

1

3

，
故a的取值范围为0＜a≤

1

3

；
（2）∵函数f（x）=log_a（ax²-2x+3），
∴原函数f（x）=log_a（ax²-2x+3）是函数y=log_aμ与μ=ax²-2x+3的复合函数，
①当0＜a＜1时，μ=log_ax在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，可得函数μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是减函数，
函数μ=ax²-2x+3的对称轴为x=-

-2

2a

，根据二次函数的性质，
∴-

-2

2a

≥2，解得a≤

1

2

，
根据对数的性质，可得函数μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函数μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是减函数，则当x=2时，μ_min=4a-1，
∴4a-1＞0，解得a＞

1

4

，
∴a的取值范围为

1

4

＜a≤

1

2

；
②当a＞1时，μ=log_ax在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，可得函数μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函数，
函数μ=ax²-2x+3的对称轴为x=-

-2

2a

，根据二次函数的性质，
∴-

-2

2a

≤

1

2

，解得a≤2，
根据对数的性质，可得函数μ=ax²-2x+3＞0在[

1

2

，2]上恒成立，即μ_min＞0，
∵函数μ=ax²-2x+3在[

1

2

，2]上是增函数，则当x=

1

2

时，μ_min=

1

4

a+2，
∴

1

4

a+2＞0，解得a＞-8，
综上得，a的取值范围为1＜a≤2．
综合①②，a的取值范围为

1

4

＜a≤

1

2

或1＜a≤2．

点评：本题考查了复合函数的单调性，以及函数的值域问题．涉及了对数函数以及二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．对于对数函数，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究指数函数的图象和性质．属于中档题．