Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．
解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
设 y₁=f（x），y₂=，
方程f（x）= 根的个数，
即为函数y1=f（x），y₂=的图象交点的个数．
由以上条件，可画出y₁=f（x），y₂=的图象：
又因为当x=1时，y₁＞y₂，∴在（0，1）内有一个交点．
∴结合图象可知，在[0，4]上y₁=f（x），y₂=共有4个交点．
∴在[0，4]上，原方程有4个根．
故选D．
点评：本题考查函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．转化思想，属中档题．