Question

在R上定义的连续偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），在区间[1，2]上单调，且f（0）•f（1）＜0，则函数f（x）在区间[0，2 010]上的零点的个数是

 

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Answer 1

分析：利用函数的奇偶性、单调性、周期性、函数零点的判定定理即可得出．

解答：解：由题意可得f（-x）=f（x）=f（2-x），∴f（x）是以2为周期的函数，且其图象关于直线x=1对称．

∵f（0）•f（1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）上存在零点；

∵f（x）在区间[1，2]上单调，∴在区间（0，1）上也单调，因此函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点．

综上可知：函数f（x）在区间[0，2]上有且仅有两个零点；

又f（x）是以2为周期的函数，函数f（x）在区间[0，2 010]上的零点的个数是2010．

故答案为2010．

点评：熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、函数零点的判定定理是解题的关键．