Question

【题目】已知 .

（1）若是上的增函数，求的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.

Answer 1

【答案】(1) (2) 三个零点

【解析】

(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.

（1）由得，

由题意知恒成立，即，设，，

时，递减，时，，递增；

故，即，故的取值范围是.

（2）当时，单调，无极值；

当时，，

一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.

另一方面，，设 ，则，从而

在递增，则，即，又在递增，所以

在区间有一个零点.

因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，

，当时，即；当时，即

；当时，即：从而在递增，在

递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.

下面证明：，

由得，即，由

得 ，

令，则，

①当时，递减，则，而，故；

②当时，递减，则，而，故；

一方面，因为，又，且在递增，所以在

上有一个零点，即在上有一个零点.

另一方面，根据得，则有：

，

又，且在递增，故在上有一个零点，故在

上有一个零点.

又，故有三个零点.