Question

如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F分别是AD，PC的中点．建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，即可证得PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）确定平面BEF的法向量

n1

=

PC

=(2，2

2

，-2)，平面BAP的法向量

n2

=

AD

=(0，2

2

，0)，利用向量的夹角公式，即可求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2

2

，四边形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C(2，2

2

，0)D(0，2

2

，0)，P(0，0，2)，
又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，

2

，0)，F(1，

2

，1)，
∴

PC

=(2，2

2

，-2)，

BF

=(-1，

2

，1)，

EF

=(1，0，1)，
∴

PC

•

BF

=-2+4-2=0，

PC

•

EF

=2+0-2=0，（6分）
∴

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，
又∵BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF（9分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BEF的法向量

n1

=

PC

=(2，2

2

，-2)，
平面BAP的法向量

n2

=

AD

=(0，2

2

，0)，∴

n1

•

n2

=8   （12分）
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，
则cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

8

4×2 2

=

2

2

，
∴θ=45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°（15分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，用坐标表示向量是关键．