Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，得到：，再计算的值，从而得出数列是首项为，公比为-1的等比数列；
（2）由（1）得，再利用等比数列的求和公式即可求S_n；
（3）由（2）得，要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，下面对n进行分类讨论：①当n为正奇数时，②当n为正偶数时，分别求得λ的取值范围，最后综上所述得到，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围．
解答：解：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴（2分）
∵．
故数列是首项为，公比为-1的等比数列．（4分）
（2）由（1）得，
即∴=．（8分）
（3）由（2）得
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即（*）（11分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：
即
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴对任意正奇数n都成立，
故为奇数）的最小值为1．
∴λ＜1．（13分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：，即
∵2ⁿ-1＞0，∴对任意正偶数n都成立，
故为偶数）的最小值为．
∴．（15分）
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围为（-∞，1）．（16分）
点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．