Question

11．设a＞0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$（e为常数，e=2.71828…）在R上满足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（-x），化简整理可得a=$\frac{1}{a}$，即可得到a的值；
（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，计算即可得到最值．

解答 解：（1）由f（x）=f（-x），可得
$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+ae^x，即为e^x（a-$\frac{1}{a}$）=e^-x（a-$\frac{1}{a}$），
可得a=$\frac{1}{a}$，解得a=1（-1舍去）；
（2）证明：f（x）=e^x+e^-x，
设0＜m＜n，f（m）-f（n）=e^m+e^-m-（eⁿ+e^-n）
=（e^m-eⁿ）（1-$\frac{1}{{e}^{m+n}}$），
由0＜m＜n，可得e^m＜eⁿ，0＜$\frac{1}{{e}^{m+n}}$＜1，
即有f（m）-f（n）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，
即有f（1）取得最小值，且为e+e^-1，
f（2）取得最大值，且为e²+e^-2．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于中档题．