Question

在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

分析：设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．

解答：解：设箱底边长为x，则箱高为h=

3

3

×

a-x

2

（0＜x＜a），…（2分）
箱子的容积为V（x）=

1

2

x2×sin60°×h=

1

8

ax2-

1

8

x3（0＜x＜a），．              …（6分）
由V′（x）=

1

4

ax -

3

8

x2=0解得x=0（舍），x=

2

3

a，…（8分）
且当x∈（0，

2

3

a）时，V′（x）＞0；当x∈（

2

3

a，a）时，V′（x）＜0，
所以函数V（x）在x=

2

3

a处取得极大值，…（10分）
这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（

2

3

a）=

1

8

a(

2

3

a)2-

1

8

(

2

3

a)3=

a3

54

．…（12分）
答：当箱子底边长为

2

3

a时，箱子容积最大，最大值为

a3

54

．                …（14分）

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键．