Question

在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

【答案】分析：设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．
解答：解：设箱底边长为x，则箱高为h=×（0＜x＜a），…（2分）
箱子的容积为V（x）==（0＜x＜a），．              …（6分）
由V′（x）==0解得x=0（舍），x=，…（8分）
且当x∈（0，）时，V′（x）＞0；当x∈（，a）时，V′（x）＜0，
所以函数V（x）在x=处取得极大值，…（10分）
这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（）==．…（12分）
答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．                …（14分）
点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键．