Question

设p：方程x²+y²+kx+ky+k²-2=0表示圆；q：函数f（x）=（k-1）x+1在R上是增函数．如果p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：对方程配方，可得命题p为真时的条件；根据一次函数为增函数可得命题q为真时的条件．根据复合命题真值表，可得p与q，一真一假，由此可得k的范围．

解答：解：方程x²+y²+kx+ky+k²-2=0⇒(x+

k

2

)2+(y+

k

2

)2=2-

k2

2

，
方程表示圆，则2-

k2

2

＞0⇒k²＜4⇒-2＜k＜2，
∴命题p为真时：-2＜k＜2，
由函数f（x）=（k-1）x+1在R上是增函数．得：k＞1，
∴命题q为真时：k＞1，
若p∨q是真命题，p∧q是假命题，由复合命题真值表得：p与q，一真一假．
若p真q假，则有

-2＜k＜2 k≤1

⇒-2＜k≤1；
若p假q真，则有

k≤-2或k≥2 k＞1

⇒k≥2．
综上所述，实数k的取值范围是-2＜k≤1或k≥2．

点评：本题借助考查复合命题的真假判断，考查了圆的标准方程与一次函数的单调性，要熟练掌握复合命题真值表．