Question

（2010•怀柔区模拟）函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（3）令b_n=

4

4an-1

，T_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²，S_n=32-

16

n

，试比较T_n与S_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）+f（1-x）=

1

2

，令x=

1

2

，可得f（

1

2

）的值；
（2）令x=

1

n

，可得f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=

1

2

，利用倒序相加法，可得答案．
（3）由b_n=

4

4a2-1

=

4

n

可得：T_n=c₁²+b₂²…+b_n²=16（1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）≤16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]，利用裂项相消法，可得结论．

解答：解：（1）因为f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=

1

2

．
所以f（

1

2

）=

1

4

．（2分）
（2）令x=

1

n

，得f（

1

n

）+f（1-

1

n

）=

1

2

，
即f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=

1

2

．（4分）
a_n=f（0）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），
又a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）
两式相加：
2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…
+[f（1）+f（0）]=

n+1

2

（7分）
所以an=

n+1

4

，n∈N*，又a_n+1-a_n=

n+1+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故数列{a_n}是等差数列．（9分）
（3）b_n=

4

4a2-1

=

4

n

，
∴T_n=c₁²+b₂²…+b_n²=16（1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
≤16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]（12分）
=16[1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n-1

-

1

n

）]
=16（2-

1

n

）=32-

16

n

=S_n，
所以T_n≤S_n（14分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数求值，数列求和，熟练掌握数列求和的各种方法及适用范围是解答的关键．