Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求sin2B+cos2

A+C

2

的值；
（Ⅱ）若b=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（本小题满分13分）
（I）因为cosB=

3

4

，所以sinB=

7

4

．…（1分）
又sin2B+cos2

A+C

2

=2sinBcosB+cos2

π-B

2

=2sinBcosB+

1

2

(1-cosB)
=2×

7

4

×

3

4

+

1

8

=

1+3 7

8

．…（6分）
（II）由已知得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

，…（7分）
又因为b=

3

，所以a2+c2-3=

3

2

ac．…（8分）
又因为a2+c2=

3

2

ac+3≥2ac，
所以ac≤6，当且仅当a=c=

6

时，ac取得最大值．…（11分）
此时S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

7

4

=

3 7

4

．
所以△ABC的面积的最大值为

3 7

4

．…（13分）