Question

8．已知函数f（x）=x${e}^{{x}^{2}-ax}$，x∈（0，+∞），其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=3，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=ln[$\frac{1}{{x}^{2}}$f（x）]，若g（x）在[1，+∞）单调递增，求a的范围；
（3）求证：当n∈N，n＞1时，$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+$\frac{1}{ln4}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）a=3时，求出$f（x）=x{e}^{{x}^{2}-3x}$，然后求导数，根据导数符号即可得出f（x）的极大值和极小值点，即得出f（x）的极大值和极小值；
（2）写出g（x）=ln$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，可设h（x）=$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，从而看出g（x）是复合函数，根据复合函数和对数函数的单调性便知，h（x）在[1，+∞）上单调递增，求h′（x），根据h′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的范围即可；
（3）可以看出0＜ln2＜1，从而$\frac{1}{ln2}＞1$，并且$\frac{1}{ln3}，\frac{1}{ln4}，…，\frac{1}{lnn}＞0$，而不等式右边$\frac{n-1}{n}＜1$，从而便可得出原不等式成立．

解答 解：（1）若a=3，f（x）=$x{e}^{{x}^{2}-3x}$，$f′（x）={e}^{{x}^{2}-3x}（2{x}^{2}-3x+1）$=${e}^{{x}^{2}-3x}（2x-1）（x-1）$；
∴$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，$\frac{1}{2}＜x＜1$时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴$x=\frac{1}{2}$时f（x）取到极大值$\frac{1}{2}{e}^{-\frac{5}{4}}$，x=1时，f（x）取到极小值e^-2；
即f（x）的极大值为$\frac{1}{2}{e}^{-\frac{5}{4}}$，极小值为e^-2；
（2）$g（x）=ln\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，设h（x）=$\frac{{e}^{{x}^{2}-ax}}{x}$，根据复合函数的单调性，g（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴$h′（x）=\frac{（2{x}^{2}-ax-1）{e}^{{x}^{2}-ax}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴2x²-ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立；
设r（x）=2x²-ax-1，△=a²+8＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}＜1}\\{r（1）=1-a≥0}\end{array}\right.$；
解得a≤1；
∴a的取值范围为：（-∞，1]；
（3）证明：1＜2＜e；
∴0＜ln2＜1；
∴$\frac{1}{ln2}＞1$；
∵$\frac{n-1}{n}＜1$，lnn＞0，n＞1；
∴$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{lnn}＞\frac{n-1}{n}$．

点评 考查函数极值的概念，以及根据函数导数求函数极值的方法和过程，以及复合函数的单调性，函数单调性和函数导数符号的关系，不等式的性质，对数函数的单调性，要熟悉二次函数的图象，并注意正确求导．