Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（5，-5），P（cosα，sinα），其中0≤α≤π
（1）若，求证：．
（2）若，求sinα+3cosα的值．

Answer 1

解：（1）若，∵已知点A（5，-5），P（cosα，sinα），0≤α≤π，
∴sinα=，=（5-cosα，-5-sinα），=（-cosα，-sinα），
∴=（5-cosα，-5-sinα）•（-cosα，-sinα）=-5cosα+cos²α+5sinα+sin²α
=1+5sinα-5×cosα=1+5×-5×=0，
故有 ．
（2）若，则-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化简可得 sinα=cosα．
再由0≤α≤π 可得，α=，故sinα+3cosα=+=2．
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα=，利用两个向量的数量积公式求得，可得．
（2）利用两个向量共线的性质可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化简可得 sinα=cosα=，从而得到sinα+3cosα的值．
点评：本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，两个向量坐标形式的运算，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．