Question

已知函数f(x)=a+

1

2x+1

，a∈R．
（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)=a+

1

2x+1

在区间（1，2）恰有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据定义在R上的奇函数的图象必过原点，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值；
（2）根据已知中函数的解析式f(x)=a+

1

2x+1

，求出其导函数后，易判断f（x）是实数集R上的单调递增函数，则根据零点存在定理，我们可以将函数f(x)=a+

1

2x+1

在区间（1，2）恰有一个零点，转化为一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1 ）函数f（x）是定义在R上的奇函数有f(0)=a+

1

2

=0
∴a=-

1

2

（2）f′(x)=

2xln2

(2x+1)2

＞0∴f（x）是实数集R上的单调递增函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即(a+

1

2

)(a+

1

5

)＜0解之得-

1

2

＜a＜-

1

5

．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，及函数零点的判定定理，其中（1）的关键是奇函数的图象必要原点，（2）的关键是判断函数的单调性，进而将问题转化为一个不等式问题．