Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，将C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的

3

、2倍后得到曲线C₂．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0，由于曲线C₂的直角坐标方程为(

x

3

)2+(

y

2

)2=1，可得曲线C₂的参数
方程．
（Ⅱ）设点P的坐标(

3

cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离为：d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(600-θ)-6|

5

，故当sin（60⁰-θ）=-1时，可令θ=150°，点P(-

3

2

，1)，从而得到d的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
∵曲线C₂的直角坐标方程为：(

x

3

)2+(

y

2

)2=1，
∴曲线C₂的参数方程为：

x= 3 cosθ y=2sinθ

(θ为参数)．…（5分）
（Ⅱ）设点P的坐标(

3

cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离为：d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(600-θ)-6|

5

，
故当sin（60⁰-θ）=-1时，可令θ=150°，点P(-

3

2

，1)，
此时dmax=

|-4-6|

5

=2

5

．…（10分）

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出点P的坐标，是解题的难点．