Question

（选修4-5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞-1，且当x∈[-

a

2

，

1

2

)时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a-2对x∈[-

a

2

，

1

2

)都成立．故-

a

2

≥a-2，由此解得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则 y=

-5x  ， x＜ 1 2 -x-2  ，  1 2 ≤x≤1 3x-6  ， x＞1

，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞-1，且当x∈[-

a

2

，

1

2

)时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a-2对x∈[-

a

2

，

1

2

)都成立．
故-

a

2

≥a-2，解得 a≤

4

3

，故a的取值范围为（-1，

4

3

]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．