Question

一只口袋中装有8个乒乓球，其中4个是旧球．现进行两轮摸球活动，每轮随机地从这8个球中摸取2个，第一轮结束后将所摸的球（看成旧球）重新放回口袋，拌匀后再进行第二轮摸球．
（1）设第一轮摸到新球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（2）求第二轮恰好摸到一个新球的概率．

Answer 1

分析：（1）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求摸出黑球个数ξ的分布列和数学期望．
（2）分三种情况讨论，（i）当第1轮摸到的是两只旧球时，（ii）当第1轮摸到的是一只旧球一只新球时，（iii）当第1轮摸到的是两只新球时，分别求出它们的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可得出第二轮恰好摸到一个新球的概率．

解答：解：（1）ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

4

7

，P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，
∴随机变量X的分布列如下：

ξ	0	1	2
P	3 14	4 7	3 14

则随机变量X的数学期望为Eξ=0×

3

14

+1×

4

7

+2×

3

14

=1；
（2）分三种情况讨论：
（i）当第1轮摸到的是两只旧球时，第二轮恰好摸到一个新球的概率为P₁=

3

14

×

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

6

49

；
（ii）当第1轮摸到的是一只旧球一只新球时，第二轮恰好摸到一个新球的概率为P₂=

4

7

×

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

49

；
（iii）当第1轮摸到的是两只新球时，第二轮恰好摸到一个新球的概率为P₃=

3

14

×

C 1 2 C 1 6

C 2 8

=

9

98

；
综上所述，第二轮恰好摸到一个新球的概率为P=P₁+P₂+P₃=

6

49

+

15

49

+

9

98

=

51

98

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．