Question

【题目】如图1，菱形中，，， 于．将沿翻折到，使，如图2．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；

（Ⅲ）设为线段上一点，若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）证明DE⊥AE，DE⊥EB．A′E⊥DE．结合A′E⊥BE，证明A′E⊥平面BCDE．然后证明平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面A′BC的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；（Ⅲ）设 ，通过EF∥平面A′BC，所以 ，求出m，然后推出结果即可．

（Ⅰ）在菱形中，因为，所以，．

所以．因为，，平面，平面，

所以平面．因为平面，

所以平面⊥平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，如图建立空间直角坐标系，

则 ，，,, ，

所以，,．

设平面的法向量，由

得所以令，则.所以．

所以，又 ,，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，,

设，则．

因为 平面，所以，即．

所以，即．所以．