Question

已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心，椭圆的一个焦点为（1，0），点在椭圆上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段MN的垂直平分线过点，求出直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆方程∵点在椭圆上，
∴分∴
（Ⅱ）当k不存在时，MN的垂直平分线为x轴，不过点，不合题意．）
设直线∴（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0

∴∴

∴∴

分析：（Ⅰ）由题设条件知c=1，由点在椭圆上，知b²=2，a²=3，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当k不存在时，MN的垂直平分线为x轴，不过点，不合题意．设直线，（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，然后由韦达定理进行求解．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．