Question

如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，

求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；

（3）平面DEA ⊥平面ECA。

Answer 1

证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵  EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴  DB ⊥AB，EC ⊥BC。

∵  BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，

则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，∴  Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，

∵  M 是EA 的中点，∴  MN EC。

由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵  DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴  DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

∴  DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。

（3）∵  DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，

∴  平面DEA ⊥平面ECA。