Question

已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：当时，.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）求，利用函数在处取得极值，即求得的值；（Ⅱ）根据题意求得，确定函数，当用分析法证明不等式成立，需要证明成立，构造新函数，再用导数法证明，从而得到原不等式成立.
试题解析：（Ⅰ），由已知得，，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
又因为，因此欲证，只需证.
令，则，令，解得.
当时，，此时单调递增.
因此，即.从而.
所以，当时，成立．