Question

已知椭圆（a＞b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点．求证：
（1）
（2）S_△F1PF2=bn
（3）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
（2）利用（1）中得出的结论，结合三角形面积公式即可证得．
（3）利用三角函数中正切的半角公式，结合前面得出的结论，即可证得．
解答：解：（1）不妨设P在双曲线的右支上，左、右焦点F₁、F₂．利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a   ①
|PF₁|-|PF₂|=2m    ②
由①②得：|PF₁|=a+m，|PF₂|=a-m．
∴|PF₁|•|PF₂|=a²-m²．
（2）如图所示，因为椭圆（a＞b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁、F₂，
所以有：a²-b²=m²+n²，
不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=p，|PF₂|=q．
由双曲线和椭圆的定义可得 p+q=2a，p-q=2m，
解得 p²+q²=2（a²+m²），pq=a²-m²，
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂==．
∴S_△F1PF2=pqsin∠F₁PF₂=×（a²-m²）×=bn．
（3）====．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F₁、F₂，及圆锥曲线的定义．属于中档题．