Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明： 时， ；

（Ⅲ）比较三个数： ， ， 的大小（为自然对数的底数），请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导分和讨论其单调性，

（Ⅱ）等价于，构造函数利用其在上单调性证明，再构造利用其在上的单调性;

（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，通过赋值可得证.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，因为，

当时， ，所以函数在上单调递增；

当时，由得，，由得，

所以函数 在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）①因为，不等式等价于，令，则，由得，所以不等式 （）等价于： ，即： （），由（Ⅰ）得：函数在上单调递增，所以，即： ．

②因为，不等式等价于，令，则，所以，所以函数在上为减函数，所以，即．

由①②得： 时，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得： 时， ，所以令，得，即，所以；

又因为 （），所以，令得： ，所以，从而得 ．

所以， ．

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.