Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥中， ， ， ， 为线段上一点，且．

（Ⅰ）若为的中点，证明： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）可证明，又平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角标系，求解即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接，因为四边形是菱形，所以为的中点．

又因为， 为的中点，所以为的中点，所以，

又因为平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）连接，因为，所以，因为，所以，而，所以平面．因为在菱形中， ，所以是等边三角形．

设，则， ，在中，由得，解得．

分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角标系，由题意得， ， ， ，由，得

设平面的一个法向量为，

由得 令，得，

取平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的余弦值为．